Augustus De Morgan

Augustus De Morgan

A.   Biografi Augustus De Morgan

            Augustus De Morgan adalah inovator penting dalam bidang logika. Selain itu, ia punya banyak kontribusi untuk bidang matematika dan mencatat sejarah matematika. Augustus De Morgan lahir di Mandura, India pada 27 Juni 1806. Ayahnya adalah John De Morgan, dia seorang kolonel di Angkatan Darat India dan Ibunya berasal dari James Dodson. Keluarganya pindah ke Inggris ketika Augustus berusia tujuh bulan. Ketika Augustus berusia sepuluh tahun, ayahnya meninggal. Sepeninggal ayahnya ibu augustus bersama anaknya tinggal di berbagai tempat di barat daya Inggris, dan anaknya menerima pendidikan dasar di sekolah yang tidak cukup besar. Ibunya adalah seorang anggota aktif di Gereja inggris menginginkan agar anaknya menjadi seorang pendeta, tetapi augustus menolak keinginan ibunya yang tidak sesuai dengan bakatnya dibidang matematika.

            Pada tahun 1823 ketika usianya enam belas tahun, ia masuk ke perguruan tinggi Trinity College, Cambridge. Disana bersama temannya George Merak dan William Whewell ia mulai minat terhadap renovasi aljabar dan logika. Guru cambrigenya adalah John Philips Higman. Dia lulus empat tahun kemudian dengan gelar BA (Bachelor of Arts). Setelah lulus ia menginginkan untuk mengambil beasiswa kompetitif dan gelar master. Syarat yang diajukannya untuk lulus beasiswa ini memberatkan baginya yaitu dia harus lulus tes teologis. Setelah merenungkan apa yang harus ia kejar yaitu antara menjadi kedokteran dan hukum, ia akhirnya memutuskan untuk menjadi seorang matematikawan.

            Pada tahun 1826 ia kembali ke rumahnya di London dan dimasukkan ke Lincoln Inn studi untuk Bar. Pada tahun 1828, ia dianugerahi posisi Profesor Matematika pertama di Univercity College di London. Pada tahun yang sama Augustus menjadi guru besar pertama matematika di Univercity College. Dia memberikan kuliah perdananya pada studi matematika. Pada tahun 1831, ia mengundurkan diri dari Univercity College setelah profesor lain dipecat tanpa penjelasan. Pekerjaannya ia dapatkan kembali lima tahun kemudian ketika penggantinya meninggal dalam suatu kecelakaan. Pekerjaannya di Univercity College berakhir saat ia mengundurkan diri pada tahun 1861.

            Augustus De morgan dikenal sebagai guru yang sangat dipuji dalam membuat matematika dan menarik untuk murid-muridnya. Selain itu, ia menulis buku-buku pelajaran di berbagai mata pelajaran dalam matematika dan logika. Pada tahun 1837 ia menikah dengan Sophia Elizabeth, putri sulung William Frend. Dari pernikahannya mereka dikaruniai tiga putra dan empat putri, salah satunya Mary De Morgan dan William De Morgan. Augustus De Morgan merupakan anggota aktif Astronomical Society. Ia mendirikan sekolah pendidikan matematika yang dinamai London Mathematical Society atau yang lebih dikenal dengan nam Univercity of London. Ia menjabat sebagai presiden pertama di sekolah itu dan anak sulungnya membantu kerjanya sebagai sekretarisnya.

            Augustus De Morgan meninggal pada Maret 1871 di London, Inggris. Augustus menyumbang banyak prestasi dalam berbagai mata pelajran bidang matematika. Dia adalah orang pertama yang mendefinisikan nama “induksi matematika” dan mengembangkan aturan De Morgan untuk menentukan konvergensi sebuah deret matematika. Definisi tentang batas merupakan usaha pertamanya untuk menentukan ide dalam istilah matematika yang tepat. Selain itu ia juga merancang sistem koin desimal dan teori tentang probabilitas. Sumbangan terbesarnya dalam bidang logika adalah melalui karyanya yaitu Formal Logic tentang konsep predikat kuantifikasi yaitu sebuah ide dalam memecahkan masalah yang mustahil dibawah logika klasik Aristoteles.

            Augustus De Morgan merancang gagasan pada waktu yang sama sebagai filsuf Skotlandia yaitu Sir William Hamilton, yang menuduh dia mencuri gagasan-gagasannya. Namun, jelas bahwa karya De Morgan lebih jelas, lebih maju dan unggul di seluruh versi Hamilton. Dengan tidak adanya bukti untuk tuduhan tersebut di Skotlandia's tuduhan itu diberhentikan. Karya lainnya, pada tahun 1849 ia menerbitkan trigonometri dan aljabar ganda dimana dia memberikan interpretasi geometris dari kompleks nomor. Dia mengakui sifat murni simbolik aljabar dan ia menyadari keberadaan algebras selain aljabar biasa. Dia memperkenalkan kontribusi terbesarnya yaitu hukum De Morgan sebagai pembaharu logika matematika. Augutus De Morgan juga sangat tertarik dalam sejarah matematika.  Dia menulis biografi Newton dan Halley dan menghasilkan sebuah kamus dari semua ahli matematika penting dari abad ketujuh belas. Pada 1847, ia menerbitkan buku Aritmetika Buku, dimana karyanya tersebut menggambarkan lebih dari seribu lima ratus matematikawan dan mendiskusikan mata pelajaran seperti sejarah panjang kaki. Karya ini juga dianggap ilmiah pertama bibliografi.

B.   Penemuan Matematika Oleh Augustus De Morgan

a.      Trigonometri dan Aljabar ganda

        Karya De Morgan berjudul Trigonometri dan Aljabar ganda terdiri dari dua bagian, yang pertama  mengenai trigonometri, dan yang kedua mengenai aljabar umum yang dia sebut "aljabar ganda”. Pengembangan aljabar tahap pertama yaitu aritmatika. Angka hanya muncul dan simbol operasi seperti +, x, dll. Tahap berikutnya adalah aritmatika umum, di mana huruf muncul bukan nomor, ini menunjukkan angka umum, dan proses yang dilakukan tanpa mengetahui nilai-nilai simbol. Misalkan a dan b menunjukkan nomor, sehingga nilai dari –b kemungkinan mustahil. Dalam aritmatika umum selalu ada syarat operasi adalah mungkin. Tahap ketiga adalah aljabar tunggal, dimana simbol dapat menunjukkan suatu kualitas atau kuantitas mundur, dan cukup diwakili oleh segmen pada garis lurus melewati dengan jumlah negatif tersebut tidak lagi mustahil, mereka diwakili oleh segmen mundur tapi mustahil masih tetap di bagian akhir tersebut. Dapat dituliskan: a + Ö-1 yang timbul dalam pemecahan persamaan kuadrat. Tahap keempat adalah aljabar ganda, Simbol aljabar menunjukkan secara umum segmen garis dalam pesawat yang diberikan adalah simbol ganda karena melibatkan dua spesifikasi yaitu panjang dan arah dan Ö-1 ditafsirkan sebagai yang menunjukkan kuadran pernyataan a + b Ö-1 kemudian menggambarkan garis di pesawat memiliki absis a dan sebuah ordinat b. Argand dan Warren menafsirkan pada teori ini ungkapan seperti e  {aÖ-1}. De Morgan mencoba dengan mengurangi pernyataan yaitu bentuk b + q Ö- 1, dan ia menganggap bahwa ia telah menunjukkan bahwa hal itu bisa selalu begitu berkurang. Fakta luar biasa adalah bahwa aljabar ganda memenuhi semua hukum-hukum dasar, dan setiap kombinasi tampaknya simbol ini mustahil ditafsirkan dalam bentuk aljabar lengkap.

Jika teori di atas benar, tahap berikutnya pembangunan seharusnya aljabar tiga dan jika a + b Ö-1 benar-benar merupakan sebuah garis pada bidang tertentu, mungkin untuk menemukan posisi ketiga yang ditambahkan di atas akan mewakili garis dalam ruang. Argand dan beberapa orang lain menduga bahwa itu adalah {a + b Ö1 + c Ö- 1} ^ Ö- 1. Hal ini bertentangan dengan kebenaran yang ditetapkan oleh Euler bahwa Ö- 1 ^ Ö- 1 = e ^  frac {1} {2}  pi. De Morgan dan lainnya bekerja keras untuk memecahkan masalah tersebut, tapi tidak ada yang memecahkan masalah itu sampai diambil oleh Hamilton.

Sekarang ini kita ketahui simbol aljabar ganda tidak menunjukkan panjang dan arah, tetapi menunjukkan penggandaan dan sudut. Di dalamnya sudut terbatas pada satu bidang datar. Oleh karena itu tahap berikutnya akan menjadi empat kali lipat aljabar, ketika sumbu dari pesawat dibuat variabel. Dan ini memberikan jawaban atas pertanyaan pertama, aljabar ganda hanyalah analitis pesawat trigonometri. Tapi De Morgan pernah sampai sejauh ini. Dia meninggal dengan keyakinan "bahwa aljabar ganda harus tetap sebagai pengembangan penuh dari konsepsi arimatika dengan ditunjukan simbol-simbol”.

Ketika studi matematika dihidupkan kembali di Universitas Cambridge, begitu pula studi logika. De Morgan dipengaruhi oleh penyelidikan logis oleh Whewell, tetapi zaman itu pengaruh lainnya adalah Sir William Rowan Hamilton Edinburgh, dan Profesor Boole Cork. Karya De Morgan pada Logika Formal, diterbitkan pada tahun 1847, pada prinsipnya untuk pengembangan silogisme numerik. Para pengikut Aristoteles mengatakan bahwa dari dua proposisi tertentu seperti Beberapa M adalah A, dan Beberapa M adalah B berikut kebutuhan tentang hubungan antara A dan B. Tapi mereka melangkah lebih jauh dan mengatakan agar hubungan apapun tentang A dan B dapat mengikuti kebutuhan, jangka menengah harus diambil universal di salah satu tempat. De Morgan menunjukkan bahwa dari M adalah A dan M adalah B maka kebutuhan bahwa beberapa A adalah B dan ia merumuskan silogisme numerik tertentu yang menempatkan prinsip ini dalam bentuk kuantitatif yang tepat. Misalkan jumlah M adalah m, dari M yang A adalah a, dan dari M yang B adalah b, maka setidaknya ada (a + b - m). Prinsip tunggal ini sudah cukup untuk membuktikan keabsahan dari semua suasana hati Aristotelian. Oleh karena itu sebuah prinsip fundamental dalam penalaran yang diperlukan.

Kemudian De Morgan telah membuat kemajuan besar dengan memperkenalkan kuantifikasi istilah. Pada saat itu Sir William Rowan Hamilton sedang mengajar di Edinburgh predikat doktrin kuantifikasi dan korespondensi bermunculan. Namun, De Morgan merasakan bahwa kuantifikasi Hamilton adalah dari karakter yang berbeda, itu berarti misalnya, mengganti dua bentuk Seluruh A adalah seluruh B, dan Seluruh adalah bagian dari B untuk bentuk Aristotelian Semua A adalah B. Hamilton berpikir bahwa ia telah menempatkan batu kunci dalam lengkungan Aristotelian, karena ia mengungkapkannya. Meskipun penasaran lengkungan yang bisa berdiri 2000 tahun tanpa batu kunci. Akibatnya ia tidak memiliki ruang untuk inovasi De Morgan. Ia menuduh De Morgan plagiarisme, dan kontroversi merebak selama bertahun-tahun dalam kolom Athenaeum, dan dalam publikasi dari dua penulis.

Memori logika yang De Morgan kontribusikan dari transaksi dari Cambridge filosofis Masyarakat setelah penerbitan bukunya tentang Logika Formal yang jauh kontribusi paling penting yang dia dibuat untuk ilmu pengetahuan, terutama memori keempat, di mana ia mulai bekerja dalam bidang yang luas logika kerabat. Ini adalah bidang yang benar untuk ahli logika dari abad kedua puluh, di mana pekerjaan yang terpenting yang harus dilakukan untuk meningkatkan bahasa dan memfasilitasi proses berpikir yang terjadi sepanjang waktu dalam kehidupan praktis. Identitas dan perbedaan adalah dua relasi yang telah dipertimbangkan oleh ahli logika yang, tetapi ada banyak orang lain sama-sama layak studi, seperti kesetaraan, kesetaraan, kerabat, afinitas, dll

b.      Hukum De Morgan

      Augustus De Morgan (1806-1871) memperkenalkan hukum formal logika proposisional klasik. Formulasi De Morgan dipengaruhi oleh logika aljabar yang dilakukan oleh George Boole, yang kemudian diteliti De Morgan. Pengamatan serupa juga dilakukan oleh Aristoteles dan ahli logika dari Yunani pada abad pertengahan (pada abad ke-14, William Ockham), De Morgan memberikan sumbangan untuk menyatakan hukum formal dan memasukkannya ke dalam bahasa logika. Hukum De Morgan dapat dibuktikan dengan mudah, dan bahkan mungkin tampak simpel. Meskipun demikian, hukum-hukum ini membantu dalam membuat kesimpulan yang valid dalam bukti dan argumen deduktif.

            Dalam logika proposisional dan aljabar boolean, hukum De Morgan adalah sepasang aturan transformasi dengan kedua ketentuan yang berlaku inferensi. Aturan yang memungkinkan yaitu konjungsi dan disjungsi melalui negasi.

Aturan ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

a.       Negasi dari konjungsi adalah negasi dari disjungsi.

b.      Negasi dari disjungsi adalah negasi dari konjungsi.

Atau dalam aturan informal sebagi berikut:

a.       ~(AÇB) = ~A È ~B

b.      ~(AÈB)¢ = ~A Ç ~B

Aturan ini dinyatakan dalam bahasa formal dengan dua proposisi P dan Q yaitu:

a.       ~(PÙQ) Û ~P Ú ~Q

b.      ~(PÚQ) Û ~P Ù ~Q

            Teorema De Morgan dapat diterapkan untuk negasi dari disjungsi atau negasi dari konjungsi di semua atau bagian dari formula.

a.       Negasi dari disjungsi 

      Dalam hal negasi dari disjungsi, di berikan pernyataan sebagai berikut: "pernyataan adalah palsu jika salah satu dari A atau B adalah benar”, ditulis sebagai berikut: ~(AÚB)

      Dalam hal ini telah ditetapkan bahwa baik A maupun B benar, maka harus mengikuti bahwa keduanya A tidak benar dan B tidak benar, dapat ditulis ~A Ù ~B

      Jika salah satu A atau B yang benar, maka disjungsi dari A dan B akan menjadi kenyataan, sehingga penyangkalan palsu. Dalam bahasa logika inggris bahwa "jika dua hal yang keduanya salah, itu juga salah berarti bahwa salah satu dari keduanya benar”

      Melihat dari arah yang berlawanan, kedua pernyatan menegaskan bahwa A adalah palsu dan B adalah palsu (ekuivalen bahwa " A tidak benar" dan "B tidak benar"). Sehingga diketahui, suatu disjungsi dari A dan B pasti salah juga. Akibatnya negasi dari disjungsi itu benar, dan hasilnya adalah negasi dari konjungsi.

b.      Negasi dari konjungsi

      Penerapan Teorema De Morgan untuk konjungsi sangat mirip dengan aplikasi untuk sebuah disjungsi baik dalam bentuk dan alasan. Pernyataan berikut: "itu adalah palsu bahwa A dan B keduanya benar”, dapat ditulis sebagi berikut: ~(A Ù B)

      Pernyataan ini benar, salah satu atau kedua A atau B harus palsu, karena jika keduanya benar, maka gabungan dari A dan B akan menjadi kenyataan, sehuingga penyangkalan palsu. Dengan demikian, satu atau lebih dari A dan B harus palsu (ekuivalen dengan satu atau lebih dari "A tidak benar" dan "B tidak harus benar"). Hal ini dapat ditulis sebagai berikut: ~A Ú ~B. Dalam logika bahasa Inggris bahwa "jika itu adalah palsu maka kedua hal tersebut benar, sehingga salah satu dari keduanya harus palsu.”

      Dilihat dari arah yang berlawanan lagi, pernyatan keduanya menegaskan bahwa setidaknya salah satu dari "A tidak benar" dan "B tidak harus benar”, atau ekuivalen bahwa setidaknya salah satu dari A dan B harus palsu. Karena setidaknya salah satu dari keduanya harus palsu, maka keduanya juga akan palsu. Sehinnga dapat dikatakan hubungannya dengan demikian menghasilkan pernyataan yang benar, dan peryataan ini sesuai dengan pernyataan pertama.

      Setelah dijelaskan diatas dapat diidefinisikan pada setiap proposisi P (p, q, ...) tergantung pada proposisi dasar p, q, ... yang menjadi himpunan {P}Ùd didefinisikan himpunan {P}Ùd(p, q,...)= ~P(~p, ~q, ~...)

      Ide ini dapat digeneralisasi untuk bilangan, sehingga misalnya hitungan umum dan perhitungan ekstensi adalah dual:
      " x ' P(x) Û $ x ' ~P(x)

      $ x ' P(x) Û ~" x ' ~P(x)

      Untuk berhubungan dengan perhitungan dual pada hukum De Morgan, menyiapkan model dengan beberapa sejumlah elemen kecil dalam domain D seperti: D={a, b, c}

Kemudian
      " a,b,c ' P(D) Û P(a) ÙP(b) Ù P(c)

      $ a,b,c ' P(D) Û P(a) Ú P(b) Ú P(c)

Sehingga didapat:

P(a)ÙP(b) Ù P(c) Û ~ ( ~P(a) Ú~P(b) Ú ~P(c) ) dan

P(a) Ú P(b) Ú P(c) Û ~ ( ~P(a) Ù ~P(b) Ù ~P(c) )